25 Gennaio 2022

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Cos’è il teorema di Kele Hamilton?

Il teorema di Cayley-Hamilton mostra che il polinomio caratteristico di una matrice quadrata è identicamente uguale a zero quando viene trasformato in un polinomio della matrice stessa. In altre parole, una matrice quadrata soddisfa la propria equazione caratteristica.

Tabella dei contenuti

Polinomio della matrice

Nella lezione sui polinomi di matrice abbiamo spiegato che, se è un campo, come l’insieme dei numeri reali o l’insieme dei numeri complessi , ed è un polinomio ordinario allora possiamo usare per definire, per estensione, un analogo polinomio di matrice a condizione che le voci della matrice quadrata appartengano al campo .

Polinomio caratteristico

[eq3]

Ricordiamo che il polinomio caratteristico di una matrice quadrata è dove sono gli autovalori di .

Come spiegato sopra, un polinomio ordinario può essere usato per definire un polinomio di matrice .

La proposizione della prossima sezione, nota come teorema di Cayley-Hamilton, mostra che il polinomio caratteristico di è identicamente uguale a zero quando viene trasformato in un polinomio in .

Il teorema

Ecco il teorema di Cayley-Hamilton.

Proposizione Sia una matrice. Siano gli autovalori di . Allora,

Definisci La matrice ha una decomposizione di Schur dove è una matrice triangolare superiore, è una matrice unitaria e denota la trasposizione coniugata di . Inoltre, le voci diagonali di sono gli autovalori di . Poiché è unitaria, . Pertanto, [eq10]Dimostreremo che e, di conseguenza, . Definiamo [eq13]Dimostreremo per induzione che le prime colonne di sono zero (quindi tutte le colonne di sono zero e la proposizione è vera). Partiamo da . Poiché è triangolare superiore, è l’unica voce non nulla della prima colonna di . Pertanto, la prima colonna della matrice è zero. Le colonne di possono essere viste come combinazioni lineari delle colonne di con coefficienti presi dalle colonne corrispondenti di . In particolare, la -esima colonna di è dove: nel passo abbiamo usato il fatto che è triangolare superiore e, di conseguenza, quando ; nel passo abbiamo usato il fatto che le prime colonne di sono zero. Quando è una delle prime colonne di , allora . Se , allora la somma è su un insieme vuoto di indici e Se , allora la somma è su un solo indice e [eq22]perché Così, abbiamo raggiunto la conclusione desiderata: le prime colonne di sono zero. Ne segue che tutte le colonne di sono zero e .

Quindi, se è il polinomio caratteristico di , allora

Un esempio

Facciamo un esempio.

Esempio Definisci Il polinomio caratteristico di è [eq27]Possiamo trasformarlo in un polinomio nel modo seguente: Eseguiamo le moltiplicazioni per verificare che effettivamente il teorema di Cayley-Hamilton è valido: [eq29]

Conseguenza per i polinomi di matrice

Un’importante conseguenza del teorema di Cayley-Hamilton è che qualsiasi polinomio in una matrice può essere riscritto come un polinomio il cui grado è al massimo .

Proposizione Sia una matrice. Sia un polinomio di matrice in . Allora, esiste un polinomio tale che e il grado di è al massimo .

Se il grado di è minore di , allora non c’è nulla da dimostrare. Se il grado di è maggiore o uguale a , si procede come segue. Per il teorema di Cayley-Hamilton, abbiamo dove gli scalari si ottengono espandendo il prodotto . Quindi, può essere espresso come una combinazione lineare di potenze di fino al -esimo: [eq34]Se si premoltiplicano entrambi i lati dell’equazione precedente per , si ottiene [eq35]Sostituendo la (1) nella (2), otteniamo che anch’essa può essere espressa come una combinazione lineare di potenze fino alla -esima. Con questa tecnica (pre-moltiplica e sostituisci), otteniamo lo stesso risultato per qualsiasi potenza , dove è un qualsiasi numero intero positivo. Così, dato un polinomio di grado maggiore o uguale a , possiamo sostituire tutte le potenze di che appaiono nei polinomi e sono maggiori o uguali a con potenze inferiori. Quindi, abbiamo il risultato indicato.

Esercizi risolti

Di seguito potete trovare alcuni esercizi con le soluzioni spiegate.

Esercizio 1

Definire Riscrivere il polinomio come polinomio di grado in .

[eq38]

Il polinomio caratteristico di è Pertanto, per il teorema di Cayley-Hamilton, abbiamo Pre-moltipliciamo entrambi i lati dell’equazione precedente in modo da ottenere Poi, sostituiamo (3) in (4) e otteniamo Infine, possiamo riscrivere il polinomio dato

Come citare

Taboga, Marco (2017). “Teorema di Cayley-Hamilton”, Lezioni di algebra delle matrici. https://www.statlect.com/matrix-algebra/Cayley-Hamilton-theorem.

La maggior parte dei materiali didattici che si trovano su questo sito web sono ora disponibili in un formato di libro di testo tradizionale.

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Qual è l’applicazione del teorema di Cayley-Hamilton?

Il teorema di Cayley Hamilton è uno dei risultati più potenti dell’algebra lineare. Questo teorema dà fondamentalmente una relazione tra una matrice quadrata e il suo polinomio caratteristico. Un’importante applicazione di questo teorema è trovare l’inverso e le potenze superiori delle matrici.

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Come si calcola il teorema di Cayley-Hamilton?

Per utilizzare il teorema di Cayley-Hamilton, si calcola prima il polinomio caratteristico p(t) di […] Trovare tutti gli autovalori di potenze di matrici e matrici inverse Sia A=[3-124-10-2-15-1]. Poi trovare tutti gli autovalori di A5. Se A è invertibile, allora trova tutti gli autovalori di A-1.

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Chi ha dato il teorema di Cayley-Hamilton?

Arthur Cayley nel 1858 applicò la teoria di Hamilton nel mondo della matrice. I risultati attesi possono essere visti quando la stessa teoria viene applicata da Cayley nella matrice di dimensioni 3×3. Così fu scoperto il teorema Cayley-Hamilton.

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Come si trova l’8 usando il teorema di Cayley-Hamilton?

Dato che P(t)=t4-2t2+1, il teorema di Cayley-Hamilton produce che P(A)=O, dove O è la matrice 4 per 4 zero. Then O=A4−2A2+I⟺A4=2A2−I⟹A8=(2A2−I)2. A8=4A4−4A2+I=4(2A2−I)−4A2+I=4A2−3I.

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Quale delle seguenti matrici soddisfa il teorema di Cayley-Hamilton?

matrice quadrata
Che cos’è il teorema di Cayley Hamilton? Secondo il teorema di Cayley-Hamilton, tutte le matrici quadrate soddisfano la propria equazione caratteristica, su un anello commutativo di campo reale o complesso.

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Qual è il vantaggio del teorema di Cayley-Hamilton?

Il teorema di Cayley-Hamilton può essere usato per provare la formula di Gelfand (le cui prove usuali si basano o sull’analisi complessa o sulle forme normali delle matrici). Sia A una matrice complessa d×d, sia ρ(A) il raggio spettrale di A (cioè il massimo dei valori assoluti dei suoi autovalori), e sia ‖A‖ la norma di A.

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Il teorema di Cayley-Hamilton è importante?

Questo teorema è usato ovunque in algebra lineare. Si può facilmente trovare l’inverso di una matrice usando il teorema di Cayley Hamilton. Gioca anche un ruolo importante nella risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie[2]. Questo teorema è molto utile anche in fisica.

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