21 Febbraio 2022

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I numeri negativi possono essere negativi al quadrato?

Ho trovato questo problema mentre facevo un ripasso di algebra nel libro La guida completa all’algebra per gli idioti. Ho chiesto a mio fratello ingegnere questo problema e ha sbagliato. Una ricerca su Google per perché un numero negativo è negativo al quadrato ottengo risultati contrastanti.

Google presenta un estratto da un sito che dice il contrario. “Questo perché elevare al quadrato un numero significa semplicemente moltiplicarlo per se stesso. Per esempio, $(-2)$ al quadrato è $(-2)(-2) = 4$. Si noti che questo è positivo perché quando si moltiplicano due numeri negativi si ottiene un risultato positivo”. – Questo, ovviamente, è l’esatto contrario di quello che è stato chiesto, ma è la risposta data.

La terza voce nei risultati di ricerca di Google ha offerto un forum di matematica dove il moderatore, un certo Doctor Rick, afferma che se è interpretato come -3^2 o -(3)^2 è una differenza di opinione. È matematica. Come può essere una questione di opinione? Se un’equazione viene utilizzata per calcolare l’atterraggio di una navicella spaziale, o l’ingegneria del progetto di un ponte, una differenza di opinione su come calcolarla potrebbe rivelarsi catastrofica.

L’insegnante di matematica del liceo che ha scritto La guida per idioti all’algebra ha presentato questa domanda come “attenzione, questo è difficile” specificamente per insegnare questa situazione, ma poiché sembra esserci una certa confusione su quale sia il modo giusto di calcolare questo.

La mia calcolatrice scientifica mi dice che è 9. Un’altra domanda qui su SE riguardante le calcolatrici con questo stesso problema, la risposta accettata è stata che l’aggiunta di parentesi ha risolto il “problema”, ma non affronta se la calcolatrice sta ottenendo “sbagliato” perché non è effettivamente sbagliato.

Qual è la risposta corretta, e perché? Grazie!

5 Risposte 5

Ecco il problema che gli altri commenti hanno mancato:

$-3^2$ non significa “il quadrato di tre negativo”. L’esponente ha la priorità sul negativo: significa “il negativo di $3^2$”. Se vuoi dire “il quadrato di tre negativo” scrivi $(-3)^2$. (Questo spiega anche i problemi con i vostri linguaggi di programmazione – quelli che dicono $-9$ lo scrivono senza che la notazione di funzione faccia il raggruppamento per voi, quindi il negativo viene applicato dopo).

Non è un’opinione ma una convenzione (accettata in tutto il mondo per quanto ne so):

$$ -3^2=(-1)cdot 3^2= (-1) cdot 9 = -9 $$

$ -3^2 = -9 $ ora, se avete delle parentesi, come questa:
$ (-3)^2$ , allora la risposta sarà $ 9$.

IMO aiuta molto a capire come la sintassi dei linguaggi di programmazione, e in modo meno diretto anche la notazione matematica, corrisponda sempre ad una struttura dati ad albero. Per esempio, $f(g(x), h(y,z))$ è in realtà una codifica di stringa di caratteri per qualcosa come $$ begin & & f & & & nearrow & & nwarrow & g & & & h uparrow & & & nearrow & uparrow x & y & z fine $$ Il termine $-3^2$, o l’espressione Python -3**2 , significa $$ inizio & & -quadrato & & & freccia & & uparrow & & & ** & & nearrow & & nwarrow & 3 & & & 2 fine $$ Non fa non significa $$ inizio & & ** & & & nordine & & nordine & quadrato & & & 2 uparrow! & & & & 3 fine $$ Perché no? Beh, queste sono solo le convenzioni per come le espressioni vengono analizzate: l’esponenziazione si lega più strettamente della negazione (che è, più o meno ragionevolmente, allo stesso livello dell’addizione).

OTOH, se scrivete in C# Math.pow(-3, 2) , allora questo chiaramente è analizzato come $$ begin & & mathrm & & Nearrow & & nwarrow & -3 & & & & 2 fine $$ che è un calcolo diverso e dà come risultato $9$. Per esprimere $-3^2$ in C#, usate – Math.pow(3,2) .

Nei linguaggi di programmazione, le regole di parsing sono generalmente queste:

  • Le parentesi raggruppano un sottoalbero, non importa cosa succede intorno a loro. L’applicazione delle funzioni è tipicamente collegata alle parentesi, quindi anche questo lega strettamente.
  • Le virgolette sempre separano sottoalberi indipendenti. Quindi il -3 in pow(-3,2) è indipendente dal 2 e dalla funzione pow.

Tutti gli altri operatori infix, come + e ** , hanno una qualche predefinita fissità predefinita. Per esempio, in C e C++ la gerarchia di precendenza degli operatori include quanto segue:

  1. < , <= , > , >=
  2. << , >>
  3. + , –
  4. * , / , %

così quando si incontra l’espressione pow(0+(-1)*3, 2), il parser la divide prima alla virgola, poi al + , poi al * , prima di considerare la parentesi interna.
Ma nei linguaggi con un operatore di esponenziazionequesto dovrebbe, come nella notazione matematica, avere una fissità maggiore degli altri operatori.

Queste regole di parsing possono variare sottilmente tra diversi linguaggi di programmazione, ma almeno per un singolo linguaggio devono essere sempre ben specificate.

Ahimè, in matematica spesso non è non così chiaro – per alcune espressioni è infatti fino all’interpretazione cosa significhino! Per esempio, $(sin x^2$ significa $(sin x)^2$ o piuttosto $sin(x^2)$? IMO dovrebbe essere il primo (perché l’applicazione della funzione si lega strettamente), ma penso che la maggioranza dei matematici e degli scienziati non sia d’accordo, e quindi la notazione completamente ridicola $sin^2 x$ viene usata per questo.

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