13 Febbraio 2022

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Puoi aggiungere i determinanti?

2. Abbiamo che A(i,j)=B(i,j)+C(i,j) per ogni j =1,2. n. Consideriamo l’espressione per det( A ). Ogni termine di questa espressione contiene esattamente un fattore della i -esima riga di A. Consideriamo uno di questi termini:

( A(i,j) è il fattore da i-esima riga in questo prodotto).

Sostituiamo A(i,j) con B(i,j)+C(i,j):

Se aggiungiamo solo i termini contenenti B ‘s, otteniamo il determinante di B; se aggiungiamo tutti i termini contenenti C ‘s, otteniamo il determinante di C . Quindi det( A )=det( B )+det( C ).

3. Supponiamo che i i-esima riga di A sia uguale alla j -esima riga di A, cioè A(i,k)=A(j,k) per ogni k =1,2. n . Consideriamo un prodotto arbitrario nell’espressione di det( A ):

(usiamo il fatto che questo prodotto contiene un fattore della i-esima riga e un fattore dalla j -esima riga, e assumiamo che i si verifichi prima di j; il caso in cui i si verifica più avanti di j è simile). Consideriamo anche il prodotto corrispondente alla permutazione p ‘ ottenuto da p scambiando i e j :

questi termini sono uguali. Ma si presentano nell’espressione di det( A ) con segni opposti (ricordate che p ‘ si ottiene da p da una trasposizione). Così questi prodotti si uccidono a vicenda in det( A ). Quindi ogni termine in det( A ) viene ucciso quando combiniamo termini simili in det( A ), quindi det( A )=0.

4. Lasciamo che la matrice B sia ottenuta dalla matrice A aggiungendo la j -esima riga moltiplicata per k alla i -esima riga. Rappresentiamo A come una colonna di righe:

Allora B ha la seguente forma:

Per la proprietà 2 possiamo concludere che det( B ) è uguale alla somma dei determinanti di due matrici:

La prima di queste matrici è A . Denotiamo la seconda con C . Quindi det( B )=det( A )+det( C ). Per la proprietà 1 det( C ) è k volte il determinante della matrice seguente:

Ma questa matrice ha due righe uguali, quindi il suo determinante è uguale a 0 (proprietà 3). Quindi det( C )=0 e det( B )=det( A ). La prova è completa.

  1. Aggiungere la j -esima riga alla i -esima riga:
  2. Sottrarre la i-esima riga della matrice risultante dalla j-esima riga:
  3. Aggiungi la j -esima riga della matrice risultante alla i -esima riga:
  4. Moltiplicare la j -esima riga della matrice risultante per -1:

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